搜索与图论 - Kruskal

2020-09-27 09:45:32

Kruskal 是求最小生成树的算法，时间复杂度是$O(nlog n)$。

算法基本流程：

  • 对所有边进行排序，按照从小到大进行排序
  • 枚举每条边：如果两个点合并过，合并两个点，结果 += 边的长度(利用并查集)

AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树

来源: https://www.acwing.com/problem/content/861/

给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。

接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。

输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

数据范围
$1≤n≤105,$
$1≤m≤2∗10^5,$
图中涉及边的边权的绝对值均不超过1000。

输入样例：

1
2
3
4
5
6
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

1
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
const int N = 100010, M = 2 * N;
int n, m;

struct Edge
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W) const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int p[N];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        edges[i] = {a, b, c};
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;

    sort(edges, edges + m);

    int res = 0, cnt = 0;
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        auto e = edges[i];
        int a = e.a, b = e.b, c = e.w;
        a = find(a), b = find(b);
        if ( a != b )
        {
            res += c;
            p[a] = b;
            cnt ++;
        }
    }
    if (cnt < n - 1) puts("impossible");
    else cout << res << endl;
    return 0;
}
  1. 1. AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树