搜索与图论 - Prim

2020-09-25 09:45:32

Prim 是求一个最小生成树的算法。最小生成树 。 Prim算法的时间复杂度是$O(n^2)$,算法流程和Dijkstra算法非常相似。算法原理也是基于贪心实现的。

算法基本流程：

  • 首先找到距离最近点， 初始化结果为0
  • 把距离最近的点加入到集合中去，res += dist[t], 然后利用最近的点更新到集合外的距离
  • 最后返回结果

AcWing 858. Prim算法求最小生成树

来源: https://www.acwing.com/problem/content/860/

给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。

接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。

输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

数据范围
$1≤n≤500,$
$1≤m≤10^5,$
图中涉及边的边权的绝对值均不超过10000。

输入样例：

1
2
3
4
5
6
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

1
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N];
// dist[i] 表示i点到集合点的最近距离
// st[i] 为true为一个集合，false 为一个集合
int dist[N];
bool st[N];

int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    int res = 0;

    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
                t = j;

        st[t] = true;
        if (i && dist[t] == INF) return INF;
        if (i) res += dist[t];
        for(int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    while(m--)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }


    int res = prim();
    if (res == INF) puts("impossible");
    else cout << res << endl;
    return 0;
}
  1. 1. AcWing 858. Prim算法求最小生成树