搜索与图论 - 堆优化版Dijkstra算法

2020-09-25 09:45:32

算法的时间复杂度是$O(nlogm)$

算法的基本思路的基本思路与朴树版本的Dijkstra的差别在于:

每次寻找通过遍历的方式寻找最小值$O(n)$。变为使用堆进行优化$O(log n)$

基本思路：

  • 首先初始化所有点为正无穷，初始起点为0
  • 进行n - 1次循环
  • 每次利用堆找到最小值
  • 然后利用最小值，更新剩余点到起点的距离
  • 如果终点距离为正无穷，那么说明没有最短路

AcWing: 850. Dijkstra求最短路 II

来源： https://www.acwing.com/problem/content/852/

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。

请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出-1。

输入格式
第一行包含整数n和m。

接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。

输出格式
输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出-1。

数据范围
$1≤n,m≤1.5×10^5,$
图中涉及边长均不小于0，且不超过10000。

输入样例：

1
2
3
4
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4

输出样例：

1
3

C++实现：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
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26
27
28
29
30
31
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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;
const int N = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> PII;
// 稠密图，所以使用邻接表来存储
int h[N], e[N], ne[N], w[N], idx;
int n, m;
int dist[N];
bool st[N];

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    // 以fist 作为排序，生成一个最小堆
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});
    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, k = t.first;
        // 如果遍历过该点，跳过该点继续遍历
        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;
        for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > k + w[i])
            {
                dist[j] = k + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
    if (dist[n] == INF) return -1;
    return dist[n];
}

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m--)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }

    cout << dijkstra() << endl;
    return 0;
}
  1. 1. AcWing: 850. Dijkstra求最短路 II