搜索与图论 - DFS与BFS

2020-09-04 09:45:32

深度优先搜索(DFS)：

从某个节点往下开始搜索，走头，走到不能走的时候再回去(回溯)。

宽度优先搜索(BFS):

一层一层往下搜索，每次扩展一层。

数据结构 空间
DFS stack $O(h)$
BFS queue $O(2^h)$

BFS 有一个最短路的概念。

题目：排列数字

来源： https://www.acwing.com/problem/content/844/

给定一个整数n，将数字1~n排成一排，将会有很多种排列方法。

现在，请你按照字典序将所有的排列方法输出。

输入格式
共一行，包含一个整数n。

输出格式
按字典序输出所有排列方案，每个方案占一行。

数据范围

$ 1≤n≤7 $

输入样例：

1
3

输出样例：

1
2
3
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5
6
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

思路：

先填某一个数，然后不能重复，下一位就填另一位数。不能与之前的重复。

注意回溯的时候需要恢复现场。

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#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 10;
int path[N], n;
bool st[N];

void dfs(int u)
{
    // 最后一位填完u + 1是 n
    if (u == n)
    {
        for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", path[i]);
        puts("");
        return;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++ )
        if (!st[i])
        {
            path[u] = i;
            st[u] = true;
            dfs(u + 1);
            st[i] = false;
        }
}

int main()
{
    cin >> n;
    dfs(0);
    return 0;
}

题目： n - 皇后问题

来源： https://www.acwing.com/problem/content/845/

n-皇后问题是指将 n 个皇后放在 n∗n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式
共一行，包含整数n。

输出格式
每个解决方案占n行，每行输出一个长度为n的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中”.”表示某一个位置的方格状态为空，”Q”表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围

$ 1≤n≤9 $

输入样例：

1
4

输出样例：

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.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

思路：

dfs + 剪枝(提前判断，去掉不合法的示例)

搜索方式一： 按照每一个格子开始搜索

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#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 10;
int n;
char g[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N * 2], udg[N * 2];

// x, y 表示棋盘上的坐标，s表示皇后的数量
void dfs(int x, int y, int s)
{
    // 来到每一行最后一个格子
    if(y == n) x++, y = 0;

    // 来到最后一列
    if (x == n)
    {
        // 皇后的数量等于n 个
        if (s == n)
        {
            for(int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
            puts("");
        }
        return;
    }

    // 不放皇后
    dfs(x, y + 1, s);

    // 放皇后
    if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n])
    {
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
        g[x][y] = 'Q';
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        g[x][y] = '.';
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
    }
}

int main()
{
    cin >> n;

    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < n; j++)
            g[i][j] = '.';

    dfs(0, 0, 0);

    return 0;
}

搜索方式二： 进行提前剪枝

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#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 20;
// col 表示当前列有没有皇后
// dg 表示对角线有没有皇后
// udg 表示反对角线有没有皇后
bool col[N], dg[N], udg[N];
char g[N][N];
int n;

void dfs(int u)
{
    // u 表示来到第n层
    if (u == n)
    {
        for(int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
        puts("");
        return;
    }

    // 如果当前列没有皇后，并列对角线没有，反对脚线也没有
    // 那么当前点放置皇后，搜索到下一层
    for(int i = 0; i < n; i++)
        if(!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i])
        {
            g[u][i] = 'Q';
            col[i] = dg[i + u] = udg[n - u + i] = true;
            dfs(u + 1);
            col[i] = dg[i + u] = udg[n - u + i] = false;
            g[u][i] = '.';
        }
}


int main()
{
    cin >> n;

    for(int i = 0; i< n; i++)
        for(int j = 0; j < n; j++)
            g[i][j] = '.';

    dfs(0);
    return 0;
}



题目： 走迷宫

来源: https://www.acwing.com/problem/content/846/

给定一个n*m的二维整数数组，用来表示一个迷宫，数组中只包含0或1，其中0表示可以走的路，1表示不可通过的墙壁。

最初，有一个人位于左上角(1, 1)处，已知该人每次可以向上、下、左、右任意一个方向移动一个位置。

请问，该人从左上角移动至右下角(n, m)处，至少需要移动多少次。

数据保证(1, 1)处和(n, m)处的数字为0，且一定至少存在一条通路。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。

接下来n行，每行包含m个整数（0或1），表示完整的二维数组迷宫。

输出格式
输出一个整数，表示从左上角移动至右下角的最少移动次数。

数据范围

$ 1≤n,m≤100 $

输入样例：

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5 5
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 0

输出样例：

1
8

思路：

bfs

bfs模板：

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queue <- 初始值
while ( queue 不为空)
{
    t <- 队头
    扩展队头
}
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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;
const int N = 110;

typedef pair<int, int> PII;
int n, m;
// g 表示图， d[x][y]表示个走到改点的最短距离
int g[N][N], d[N][N];

int bfs()
{
    queue<PII> q;
    memset(d, -1, sizeof d);
    d[0][0] = 0;
    q.push({0, 0});

    int dx[4] = {0, 1, -1, 0}, dy[4] = {1, 0, 0, -1};
    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        for(int i = 0; i < 4; i++)
        {
            int x = t.first + dx[i], y = t.second + dy[i];
            if ( x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && d[x][y] == -1 && g[x][y] == 0)
            {
                q.push({x, y});
                // x,y 点的距离等于上点到这的距离 + 1
                d[x][y] = d[t.first][t.second] + 1;
            }
        }
    }
    return d[n - 1][m - 1];

}


int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < m; j++)
            cin >> g[i][j];

    cout << bfs() << endl;
    return 0;
}

  1. 1. 题目：排列数字
    1. 1.1. 思路：
  2. 2. 题目： n - 皇后问题
    1. 2.1. 思路：
  3. 3. 题目： 走迷宫
    1. 3.1. 思路：