数据结构 - Trie 树

2020-08-14 09:45:32

Trie 树又称为字典树，前缀树， 是一种用于高效存储和查找的字符串集合的数据结构。

结构如上图，头节点都为空，表示开始的节点。然后依次往下走，如果当前有以某一个字母为开头的继续往下走。如果没有创建出来，继续往下走。然后在以字母结尾的位置做出一个标记。记录有多少个字母是以它结尾的。

题目： Trie字符串统计

来源： https://www.acwing.com/problem/content/description/837/

维护一个字符串集合，支持两种操作：

“I x”向集合中插入一个字符串x；

“Q x”询问一个字符串在集合中出现了多少次。

共有N个操作，输入的字符串总长度不超过 105，字符串仅包含小写英文字母。

输入格式

第一行包含整数N，表示操作数。

接下来N行，每行包含一个操作指令，指令为”I x”或”Q x”中的一种。

输出格式

对于每个询问指令”Q x”，都要输出一个整数作为结果，表示x在集合中出现的次数。

每个结果占一行。

数据范围

1≤N≤2∗10^4

输入样例：

1
2
3
4
5
6
5
I abc
Q abc
Q ab
I ab
Q ab

输出样例：

1
2
3
1
0
1

C++实现：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
// 因为是只有小写字母，所以第二维度的值为26
// cnt 表示以某一个节点结尾的个数有多少个
// idx为下标的使用情况, 题目规定所有字符串的总长度是10^5
int son[N][26], cnt[N], idx;
char str[N];

// 插入操作
void insert(char *str) {
    int p = 0;
    for(int i = 0; str[i]; i++) {
        int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;
        p = son[p][u];
    }
    cnt[p]++;
}

// 查询操作
int query(char *str) {
    int p = 0;
    for(int i = 0; str[i]; i++) {
        int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) return 0;
        p = son[p][u];
    }
    return cnt[p];
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while(n--) {
        string op;
        cin >> op >> str;
        if (op == "I") insert(str);
        else printf("%d\n", query(str));
    }
    return 0;
}

题目: 最大异或对

来源： https://www.acwing.com/problem/content/145/

在给定的N个整数$A_1，A_2, ……, A_N$中选出两个进行xor（异或）运算，得到的结果最大是多少？

输入格式
第一行输入一个整数N。

第二行输入N个整数$A_1～A_N$。

输出格式
输出一个整数表示答案。

数据范围
$1≤N≤10^5$,
$0≤A_i<2^{31}$
输入样例：

1
2
3
1 2 3

输出样例：

1
3

暴力解法： 时间复杂度$O(n^2)$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int a[N], n;

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < i; j++) {
            res = max(res, a[i] ^ a[j]);
        }
    }

    cout << res << endl;
    return 0;
}

字典树解法：时间复杂度$O(n)$

当某一位有异或值得时候就往有异或值为1的那条路径往下走，如果没有就直接往下走。

C++ 实现：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

// M 表示节点个数， N = 10^5, Ai = 31 位数
const int N = 1e5 + 10, M = 3e6 + 10;

// idx 表示节点的使用情况
int son[M][2], idx;
int a[N], n;

// 如果有节点就往下走，没有就创建出来继续往下走
void insert(int x) {
    int p  = 0;
    for(int i = 30; ~i; i--) {
        int &s = son[p][x >> i & 1];
        if (!s) s = ++idx;
        p = s;
    }
}

// 查询
// 当某一个节点有异或值得时候，那么加上该位的值，res += 1 >> i; 没有就是 res += 0 >> i, 这里等于0 所以省略掉
int query(int x) {
    int p = 0, res = 0;
    for(int i = 30; ~i; i--) {
        int s = x >> i & 1;
        if (son[p][!s]) {
            res += 1 << i;
            p = son[p][!s];
        } else p = son[p][s];
    }
    return res;
}


int main() {
    // 读入数据
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        insert(a[i]);    // 创建字典树
    };

    // 查询
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) res = max(res, query(a[i]));

    cout << res << endl;
    return 0;
}
  1. 1. 题目： Trie字符串统计
  2. 2. 题目: 最大异或对
    1. 2.1. 暴力解法： 时间复杂度$O(n^2)$
    2. 2.2. 字典树解法：时间复杂度$O(n)$