算法 - 石子合并

2020-08-05 10:11:32

来源： https://www.acwing.com/problem/content/284/

描述：

设有N堆石子排成一排，其编号为1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2， 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24；

如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

首先是因为是相邻的区间进行合并，所以就是一个分界点，分成两个部分，一个部分左边，一部分右边。这样就符合题意的相邻两个部分进行合并，这样只用以2堆，3堆，4堆，一直到长度为n堆进行合并就行了。因为是区间DP问题，所以状态表示为$f[i][j]$。

区间dp分析：

状态表示$f[i][j]$

  • 集合： 区间i ~ j 合并所需要的代价
  • 属性： Min

状态计算：

  • 以k为分界点，把区间分成两部分，k可以取值1, 2, 3, 4…, k - 1
  • 合并的代价就是区间的长度的价值
  • 状态转移方程就是： $f[i][j] = min(f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]), k = 1, 2, 3, 4…, k - 1$

写区间dp问题，注意就是区间的写法。如何写区间，调整区间。

伪代码：

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for (len = 2; len <= n; len++)
    for (i = 1; i + len - 1 <= n; i++)
        // 枚举所有区间长度，从2开始
        left = i, right = i + len - 1
        for(k = 1; k < right; k++)
            //状态转移方程
            f[left][right] = min(f[left][k] + f[k + 1][right] + s[right] - s[left - 1])

//答案 区间 1 ~ n
f[1][n]

C++实现：

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#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 310;

int n;
int s[N];
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> s[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] += s[i - 1];

    for(int len = 2; len <= n; len++)
        for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) {
            int l = i, r = i + len - 1;
            f[l][r] = 1e8;
            for(int k = l; k < r; k++)
                f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
        }

    cout << f[1][n] << endl;
    return 0;
}

Python 实现：

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N = 310
def main():
    # f 表示状态, s表示数据和
    f = [[0]*N for _ in range(N)]
    s = [0]*N
    n = int(input())
    # 写入数据从角标1开始
    s[1:] = map(int, input().split())

    for i in range(1, n + 1):
        s[i] += s[i - 1]


    for len in range(2, n + 1):
        for i in range(1, n):
            if i + len - 1 <= n:
                l, r = i, i + len - 1
                f[l][r] = 1e8
                for k in range(l, r):
                    # 状态转移方程
                    f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1])

    # 表示从1 ~ n区间
    print(f[1][n])

main()