算法 - 最长公共子序列

2020-08-05 10:11:32

来源： https://www.acwing.com/problem/content/description/899/

描述：

给定两个长度分别为N和M的字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串长度最长是多少。

dp分析：

首先确定状态f[i][j], 因为是两个字符串，所以用f[i][j]两维数组表示比较好(经验)。

dp分析分为： 状态表示，和状态计算。

状态表示：

  • 集合: f[i][j] 表示以a[i]字母结尾，和以b[j]字母结尾的最长公共子序列。
  • 属性：Max

状态计算：

集合划分：分成4个部分

  • 1.不取a[i],b[j]
  • 2.取a[i], b[j]
  • 3.取a[i], 不取b[j]
  • 4.不取a[i], 取b[j];

所以状态方程就是：$f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j], f[i][j - 1], f[i - 1][j - 1] + 1)$

但是因为$f[i][j]$表示以$a[i], b[j]$字符结尾的最长子序列，所以$f[i - 1][j] $包含$f[i - 1][j - 1]$的情况，所以状态转移方程就可以只写为：

$f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1], f[i - 1][j - 1] + 1)$

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#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

char a[N], b[N];
int f[N][N];
int n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    scanf("%s%s", a + 1, b + 1);

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            if (a[i] == b[j])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
    }